对于二十世纪初的大学，上大课不多见，尤其是数学课，更少见。
因为目前的大学，学生没有那么多；而且数学课非常艰深，很少有其他专业的学生会来选修。
话说就算到了李谕穿越前，除了数学专业的学生，学的数学知识基本也只能称做“古数学”。
大都只是学到微积分呗，即牛顿时代的东西，而牛顿是十七世纪末十八世纪初的人，已经是三百多年前。
牛顿之后的数学越来越深奥。
想想阿贝尔名气这么大，但大家只是知道他的故事很吸引人，英年早逝让人无比痛惜，但他开创的群论，真的没多少人理解。
至于近代数学，已经发展到了连科普都很难科普的地步，真的太艰深。
普通大众能听懂的顶级数学问题是极少数，提出时间往往很早，比如费马大定理、哥德巴赫猜想，但稍微讲讲它们的数学基础，又是近代数学，和天书没有任何区别。
按道理数学系和物理系上课多数是小班制，但希尔伯特的亲和力实在强，太多学生喜欢上他的课，所以学校只能改成了大教室。
李谕很好奇这位二十世纪初名气最大的数学大佬上课是什么样的，于是趁着人多，悄悄溜进了最后一排。
听了一会儿，李谕就明白为什么大家喜欢上他的课：希尔伯特能把深奥的道理讲简单，深入浅出。
能做到这一点挺难，必须理解得极为透彻。
听他课的学生们会觉得数学是“活”的。
而数学系主任克莱因讲课，更像是精心准备、百科全书式的“完美演讲”。
两人的区别可能也与希尔伯特更加懂得教育学有关。
希尔伯特此时正在上的课是常微分方程，由于与物理学、工程学、机械学关系匪浅，这三个专业的不少学生都来听讲。
希尔伯特先在黑板上写了两个方程：y“=0和y“＋y=0，然后说道：
“诸位先生，这是一切开始的地方。通过这两个方程，你们能学习整个理论，甚至包括初值问题和边值问题在意义上的差异。”
切入点很简单，但讲了差不多3个小时后，已经推到了很深的程度。
——这是西方大学的传统，如果各位去听麻省理工、耶鲁、剑桥等大学放出来的数学课程，会发现都是类似的风格。
不过由于希尔伯特的备课太随意、太简略，讲着讲着就会讲砸。
果然，不出意外的话意外就要出现了。
希尔伯特在一处细节位置推不动了，他扶了扶眼镜，看向前面密密麻麻的一黑板算式，自言自语道：“到底是哪里错了？”
一位前排的学生很快发现了错误，提醒说：“教授先生，是符号错了，在这里。”
希尔伯特仔细检查了一会儿，耸了耸肩膀说：“确实如此，我应该准备得更充分一些。”
不过看学生们习以为常的反应，希尔伯特肯定不是第一次这样。
希尔伯特对那名学生说：“总之，外尔，谢谢你的提醒。”
一般指出错误的工作都是助手玻恩来做，但今天外尔的眼睛显然更快。
毕竟外尔后来也是一位不得了的数学家，还是少有的能同时对相对论与量子力学都有重大贡献的数学家。
外尔此后去了普林斯顿高等研究所，与爱因斯坦是同事，为其提供了很大帮助。
第四百五十七章 任性的教授
下课后，李谕找到希尔伯特，笑道：“教授，听君一堂课，胜读十年书。”
希尔伯特说：“没想到你也来听，早知道就讲博弈论了。”
“太值得期待了，”李谕说，然后翻出一本手稿，“如果再帮我证明几条数学定理，就再好不过！”
“什么定理？”希尔伯特问。
李谕说：“是博弈论中涉及对弈的一个猜想，对于一个两人的完全信息游戏，一定存在一个策略，要么先手一定获胜，要么后手一定获胜，要么双方一定平局。”
希尔伯特摸了摸大胡子：“你指的是，从走第一步棋开始，即便对方还没有行棋，就已经可以断定输赢？”
李谕说：“是的，博弈论是数学，从数学上讲，棋盘是有限的，那么落子的可能也是有限的，必然存在一种必胜的策略。”
希尔伯特经常下国际象棋，他说道：“但我从来没听过有人下棋从没输过。”
“因为下棋的复杂程度是指数级的，不能通过穷举证明，”李谕说，“以国际象棋为例，其所有的局面至少是10的50次方级。”
希尔伯特是搞数学的，他清楚地知道这是一个多么庞大的数字。
围棋比国际象棋复杂得更多，哪怕去掉一些重复情况，围棋所有局面的数量级可以达到10的170次方级。
要知道，全宇宙只有10的80次方个原子，就算用一个原子代表一个围棋的局面，穷尽宇宙中所有的原子都不可能表示出围棋所有的局面。
如果用计算机的进行计算，则需要画出游戏树，那就更复杂了，至少是10的360次方级。
哪怕世界上最快的超级计算机，一秒钟可以进行100亿亿次浮点运算。假如1次浮点运算就能算出一条路径，那么算完所有围棋游戏的可能情况，需要10的342次方秒。
而宇宙的年龄只有138亿年，大约只等于10的17次方秒。
所以真的诗歌很难想象的庞大数字。
不过这就是数学，物理上不可能的事情，不代表数学上不可能。
从博弈论的角度看，所有的对弈游戏，最优解一定存在。
但至于怎么证明，当然不能穷举，只能用数学技巧。
希尔伯特考虑了一会儿说：“有意思！我喜欢这个猜想，不过关于博弈论，我并不是哥廷根大学里最好的，有个叫做策梅洛的年轻教授，对博弈论简直是痴迷。”
希尔伯特看人很准，李谕刚才说的那个猜想，其实就是策梅洛定理。
其实李谕脑子里想的是博弈论中关于均衡的定理，即后世著名的纳什均衡，策梅洛定理是其一个特例。
有了策梅洛定理的证明，对纳什均衡证明会有很大帮助。
李谕说：“还请希尔伯特教授帮忙引见。”
“可以，但今天他恐怕抽不开身，因为明天会有两拨人进行集合论的数学研讨。策梅洛作为集合论的重要支持者，会与对方进行辩论，”希尔伯特说，“你明天要不要也去凑凑热闹？”
“当然想，”李谕说，“我是集合论的拥趸。”
“好的，有你力量更大了，”希尔伯特说，“不过对方来的人不少，我要找上我的好朋友一起去帮策梅洛站台。”
李谕问道：“您是指闵可夫斯基教授？”
“没错，他正好在上课，我们去看看讲完了没有。”希尔伯特说。
目前欧洲的大学，上课时间比较随意，经常跨越中午。
来到闵可夫斯基的教室外，希尔伯特发现他不停地在黑板上演算着。
希尔伯特掏出手表，对身旁的助手玻恩说：“已经快要下课，但看起来他一点没有要停下的意思，闵可夫斯基教授今天莫非还在研究四色问题？”
玻恩说：“是的，教授先生，如果我没有记错，他已经连续讲了四个星期，但还没有完成证明。”
李谕愕然，问道：“闵可夫斯基教授想在课堂上证明四色定理？！”
“对啊，”希尔伯特说，“四个星期前，他在讲授拓扑学时，碰巧提到了四色问题。”
李谕问道：“拓扑学讲到四色问题很正常，但该不会闵可夫斯基教授立刻就要去证明吧，还是在课堂上？”
希尔伯特说：“你已经看到了，他演算的就是四色问题的证明。”
四色问题形容起来很简单：任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
它与哥德巴赫猜想、费马猜想并称三大数学猜想。
但直到1976年，才由数学家用计算机完成了四色定理的证明。
严格讲，是通过穷举法完成了证明。
从数学家的角度看，证明方法不太漂亮、不太数学，所以受到了很多数学家的异议。
希尔伯特说：“当时闵可夫斯基在课堂上对学生们宣称，‘这条定理没有得到证明，是因为到现在为止，只有一些三流的数学家对它进行过专门研究，’然后他对学生们自信地说，‘我相信我能够证明它！’但当天的课程，他显然没有完成，于是之后的四个星期都在进行证明。”
李谕看向一黑板的算式，说：“似乎并不顺利。”
希尔伯特倒看得津津有味：“我一定要看他什么时候服输。”
又过了半个小时，闵可夫斯基已经把黑板写满，他拿起黑板擦，想要擦出一块，但天空中突然响起了一声惊雷。
闵可夫斯基手一颤，顿了十几秒后，无奈地放下黑板擦，然后说：“老天似乎也被我的骄傲激怒了……我承认，我对四色定理的证明是不完全的。”
听到他这么说，讲台下面所有的学生都长舒了一口气，天知道他们这一个月在听什么鬼东西！
闵可夫斯基又问道：“在讲四色定理前，我讲到哪了？”
学生回答：“是拓扑学，教授。”
闵可夫斯基说：“好的，下堂课我们继续讲拓扑学。不过耽误了一个月，之后的进度要加快。”
学生们的脸全都要黑了。
尼玛，这可是拓扑学哎！在数学系里也是超级难的一门课！竟然还要压缩课程！
不过闵可夫斯基管不了那么多，拍拍手就走出了教室。
希尔伯特看到他后，哈哈大笑：“就知道你坚持不了多久，我和克莱因主任打过赌，看样子是我赢了！”
闵可夫斯基无所谓道：“我要是不行，你肯定更不行。”
希尔伯特得意道：“但我早就知道自己不行，所以就不去硬碰硬，而且还额外赢了100马克。”
闵可夫斯基无语道：“真有你的！”
希尔伯特与闵可夫斯基是三四十年的老交情，笑道：“行了，今天我请你吃饭，正好李谕先生到了。”
闵可夫斯基面色好转：“这还差不多！”
几人来到希尔伯特的家中，进门后，李谕只是看房间布局就能猜到希尔伯特经常在家中举办宴会。
闵可夫斯基则看到了一台新买的望远镜，对希尔伯特说：“不要告诉我你又要研究天文学？我猜你最多研究研究占星术。”
“切！”希尔伯特哼了一声，“要是把天底下最聪明的十个人集合起来，请教他们世界上最愚蠢的事情是什么？他们一定会告诉你：没有比占星学再愚蠢的了！”
一回到家他的口音就变成了东普鲁士的风格，非常有趣。
希尔伯特的夫人此时端出茶水，对他说：“最好不要让教会的人听到，他们连为制造了望远镜的伽利略平反都做不到。哦对了，伽利略在面对宗教审判时，似乎并没有为自己的信念坚持到底。”
希尔伯特立刻表示反对：“伽利略可不是一个傻瓜。只有傻瓜才相信科学真理需要宗教式的殉道，科学成就要依靠时间来证明自身的正确。”
晚餐时，李谕清晰地感觉到希尔伯特和闵可夫斯基是两个思维很活跃的人，闵可夫斯基谈话间动不动还喜欢引用歌德的诗歌，尤其是《浮士德》。
